Fundamental Domain

释义 Definition

基本域 / 基本区域：在数学中（尤其是群作用、几何、复分析与模形式等领域），指一个区域（集合），使得在某个对称变换群的作用下，整个空间可以由这个区域通过变换“铺满”，并且（通常意义下）每个轨道中的点在该区域里恰好对应一次（边界处可能出现重合或需要作等同识别）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfʌndəˈmɛntl doʊˈmeɪn/

词源 Etymology

“Fundamental”来自拉丁语 fundamentum（“基础、根基”），表示“最基本的、起根本作用的”；“Domain”源自拉丁语 dominium（“领地、范围、支配”）。合起来用于数学语境时，强调“作为整体结构的基础代表区域”：用一个“代表性范围”来描述在对称/等价关系下的整个空间。

例句 Examples

A square can be a fundamental domain for a lattice in the plane.
一个正方形可以作为平面中某个晶格（格点平移群）的基本域。

In the study of modular forms, a fundamental domain for the modular group helps reduce infinitely many equivalent points to a single representative region.
在研究模形式时，模群的一个基本域可以把无穷多个彼此等价的点“归并”为一个代表性区域来处理。

相关词 Related Words

• Fundamental
• Domain
• Symmetry
• Group
• Orbit
• Equivalence
• Tessellation
• Lattice
• Modular

文学与经典著作 Literary Works

• Jean-Pierre Serre，《A Course in Arithmetic》：在模群与模形式的讨论中使用基本域来组织等价类与积分区域。
• H. M. Coxeter，《Introduction to Geometry》：在对称、反射群与平铺（tessellation）相关章节中涉及“基本区域/基本域”的思想。
• L. V. Ahlfors，《Complex Analysis》：在与群作用、解析延拓及相关几何直观的内容里会出现“基本域”概念。
• James W. Anderson，《Hyperbolic Geometry》：在双曲几何与离散群作用的语境下讨论基本域与边界识别。